Sponsorlu Bağlantı

+ Cevap Ver
1 sonuçtan 1 ile 1 arası

Konu: Özdeşlik Nedir? Özdeşlikler ve Binom Açılımı - Özdeşlik Neye Denir?

  1. #1
    Moderator
    Sponsorlu Bağlantı

    Yeni Özdeşlik Nedir? Özdeşlikler ve Binom Açılımı - Özdeşlik Neye Denir?

    Sponsorlu Bağlantı

    Özdeşlik Nedir? Özdeşlikler ve Binom Açılımı - Özdeşlik Neye Denir?



    Özdeşlikler ve Binom Açılımı
    Kısa kenar uzunluğu 2 birim, uzun kenar uzunluğu 5 birim olan bir dikdörtgenin
    alanının 10 birim kare; kısa kenar uzunluğu 2,4 birim, uzun kenar uzunluğu 3 birim
    olan bir dikdörtgenin alanının ise 7,2 birim kare olduğunu biliyoruz. Burada dik-
    dörtgenlerin alanlarını bulmak için kısa kenar uzunlukları ile uzun kenar uzunluk-
    larını çarpıyoruz. Neden böyle buluyoruz sorusuna cevap vermek konumuz ve
    amacımız dışındadır. Aslında bu sorudan önce alan nedir sorusunu sormamız gere-
    kir. Bu soru ise bugün fen fakültelerinin matematik bölümlerinin ancak son sınıfla-
    rında öğretilen ve matematiğin bir dalı olan ölçüm kuramının doğmasına neden ol-
    muştur. Dikdörtgenin alanının bulunmasıile ilgili "bir dikdörtgenin alanının kaç bi-
    rim kare olduğunu bulmak için dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar
    uzunluğunu çarpıyoruz" ifadesini; A alan, x kısa kenar uzunluğu, y uzun kenar
    uzunluğu olmak üzere A = x.y şeklinde kısaca ifade edebiliriz. Benzer şekilde yarı-
    çapı r birim olan bir dairenin alanını da A = π r
    2
    şeklinde ifade edebiliriz. Alan
    formülleri de dediğimiz bu ifadeler, genellik ve kısalık sağlamanın yanında işlem
    yapma imkanı da sağlamaktadır. Örneğin
    "bir dikdörtgende karşılıklı iki kenarın uzunlukları 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanı ne
    kadar değişir?"
    sorusuna kolayca cevap verebiliriz.

    Kenar uzunluklarıx ve y birim olan bir dikdörtgenin x birim uzunluğundaki kenar-
    larının uzunlukları 1 birim artırılsın. Bu durumda yeni dikdörtgenin kenar uzun-
    lukları x +1 ile y birim olduğundan alanı (x + 1). y = x.y + y birim kare olur. Dikdört-
    genin alanındaki değişme miktarı, son alan ile ilk alan arasındaki fark olduğundan,
    bu fark x.y + y - x.y = y birim karedir. Buna göre bir dikdörtgenin ayrıtlarından biri-
    sinin uzunluğu 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, diğer
    kenarın uzunluğu kadar birim karedir diyebiliriz.
    Yukarıdaki soruya x,y gibi harfleri kullanmadan cevap vermeye çalışınız.
    Bu tip sorulara kelimelerle, sözlerle cevap vermek genellikle kolay değildir. Keli-
    meler, sözler yerine harfleri ve sembolleri kullandığımızda bu tür sorulara daha ko-
    lay cevap verebiliriz. Harfler ve semboller içeren ifadelere cebirsel ifadeler diyece-
    ğiz.
    Örneğin,
    xy, πr
    2
    , 2x + 5 , 3x
    2
    - 4x +1,
    şeklindeki ifadeler birer cebirsel ifadedir. Buna göre, harfler ve sayılarla ilgili topla-
    ma, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yanında kuvvet alma, kök alma gibi
    işlemlerden bazılarını veya hepsini içeren ifadelere cebirsel ifade, ifadelerde bu-
    lunan ve herhangi bir gerçel sayıyı temsil eden x,y,r,..,t gibi harflere de değişken
    veya bilinmeyen diyoruz. Cebirsel ifadelerde değişkenler yerine sayılar yazılıp
    gerekli işlemler yapılarak ifadenin sayısal değeri bulunur. Örneğin 3x
    2
    - 4x +1 ifade-
    sinin x = -2 için sayısal değeri 3(-2)
    2
    - 4(-2) + 1 = 12 + 8 +1 = 21 dir.
    İki cebirsel ifade değişkenlerin her değeri için aynı sayısal değeri alıyorsa bu iki
    ifadeye özdeştir diyoruz. Örneğin x
    2
    - 1 ile (x - 1)(x + 1) ifadesini ele alalım. İkinci
    ifadedeki çarpma işlemini ve gerekli kısaltmaları yaparsak,
    (x -1)(x + 1)= x.x + x.1 - 1.x -1.1 = x
    2
    - 1
    buluruz. Dolayısıyla her x gerçel sayısı için
    x
    2
    - 1 = (x - 1)(x + 1)
    dır. Bu nedenle bu iki ifade özdeştir diyoruz.
    Bir problemde bir ifade yerine onun özdeşi alınabilir.
    İki ifadenin özdeşliği ≡ işareti ile ifade edilirse de sıkça kullanılan özdeşliklerde bu
    işaret yerine = işareti de kullanılmakta hatta tercih edilmektedir.

    ?
    x
    2
    + 1,
    x + 1
    x
    2
    + 1
    , 3x
    2
    - y
    2
    + 2, x
    2
    + y
    3
    3
    ,
    1
    2
    gt
    2

    x + y ifadesinin pozitif tam kuvvetleriyle ilgili özdeşlikler sıkça kullanılmaktadır.
    Şimdi bu özdeşlikleri ele alalım.
    (x + y)
    2
    = (x + y) (x + y) = x.x + x.y + y.x + y.y = x
    2
    + 2xy + y
    2
    olduğundan
    dir.
    x ve y pozitif gerçel sayı olduğunda bu özdeşliğin (eşitliğin) doğruluğunu geomet-
    rik olarak da görmek mümkündür. Bunun için (x + y)
    2
    sayısını, bir kenar uzun-
    luğu x + y olan bir karenin, x
    2
    ile y
    2
    yi de sırasıyla bir kenar uzunluğu x ve y
    olan karelerin alanlarıolarak düşünebiliriz. Buna göre özdeşliğin doğruluğu aşağı-
    daki şekilden kolayca görülebilir.
    Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazarsak aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.
    x > y > 0 için bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki şekilden görmeye çalışınız.
    Ö Z D E Ş L İ K L E R , D E N K L E M L E R V E E Ş İ T S İ Z L İ K L E R
    39
    Her x , y ∈ IR için (x + y)
    2
    = x
    2
    + 2xy + y
    2
    2
    y
    x
    x
    y
    x
    y
    y
    x
    xy
    y
    2
    xy
    x
    2
    Her x , y ∈ IR için (x - y)
    2
    = x
    2
    - 2xy + y
    2
    Page 6
    A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
    Bir diğer özdeşlik,
    Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için sağ taraftaki çarpma işlemini yapmak ye-
    terlidir. x ve y nin pozitif sayı olması durumunda bu özdeşliğin doğruluğunu geo-
    metrik olarak da görmek mümkündür.
    Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için
    (x + y)
    3
    = (x + y)
    2
    (x + y) = (x
    2
    + 2xy + y
    2
    )(x +y)

    y
    y
    y
    y
    x
    xy
    xy
    x - y
    x - y
    y
    y
    x
    x
    y
    2
    x
    2
    Şekil 2.1
    Her x , y ∈ IR için x
    2
    - y
    2
    = (x - y) (x + y)
    x
    x - y
    y
    y
    A
    B
    C
    D
    y
    2
    x - y
    2
    2
    x
    y
    x - y
    2
    2
    x + y
    A
    B
    C
    D
    Şekil 2.2
    Her x , y ∈ IR için (x + y)
    3
    = x
    3
    + 3x
    2
    y + 3xy
    2
    + y
    3

    çarpma işlemini yapmak yeterlidir. Bu özdeşliği pozitif x ve y için geometrik olarak
    doğrulamak için aşağıdaki şekli inceleyiniz.

    Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazılırsa,
    bulunur.
    Her zaman karşımıza çıkan,
    özdeşliklerini de unutmamalıyız.
    Son iki eşitlikte sağtaraftaki çarpma işlemi yapılarak özdeşliğin doğruluğu ispatla-
    nabilir. Bunlara benzer şekilde
    (x + y)
    4
    = (x + y)( x + y)
    3
    = (x + y)(x
    3
    + 3x
    2
    y + 3xy
    2
    + y
    3
    )
    = x
    4
    +3x
    3
    y +3x
    2
    y
    2
    + xy
    3
    + yx
    3
    +3x
    2
    y
    2
    +3xy
    3
    + y
    4
    = x
    4
    + 4x
    3
    y + 6x
    2
    y
    2
    + 4xy
    3
    + y
    4
    dır. O halde,
    (x + y)
    2
    , (x + y)
    3
    , (x + y)
    4
    ifadelerinin açılımları , n doğal sayı olmak üzere (x +
    y)
    n
    nin Newton Binom Açılımı’nın (formülünün) özel halleridir. Bu açılım,
    şeklindedir. Bu özdeşlik tümevarım yöntemi ile ispatlanabilir.
    Burada olduğu gibi k∈ IN olmak üzere 1.2.3.4...k çarpımına k faktöriyel denir
    ve k! şeklinde gösterilir. Örneğin 3! = 1.2.3 = 6, 5!=1.2.3.4.5 = 120 dir.
    0! = 1 olarak tanımlanır. Faktöriyel tanımından sonra Binom Açılımınışöyle yazabi-
    liriz.

    Her x , y ∈ IR için (x - y)
    3
    = x
    3
    - 3x
    2
    y + 3xy
    2
    - y
    3
    Her x, y ∈ IR için (x + y)
    4
    = x
    4
    + 4x
    3
    y + 6x
    2
    y
    2
    + 4xy
    3
    + y
    4
    x + y
    n
    = x
    n
    +
    n
    1
    x
    n-1
    y +
    n n - 1
    1.2
    x
    n-2
    y
    2
    +
    n n - 1 n - 2
    1.2.3
    x
    n-3
    y
    3
    + ...
    +
    n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1
    1.2.3...k
    x
    n-k
    y
    k
    + ... +
    n n - 1 ...2.1
    1.2.3...n
    y
    n
    Her x , y ∈ IR için x
    3
    + y
    3
    = (x + y)(x
    2
    - xy +y
    2
    )
    Her x , y ∈ IR için x
    3
    - y
    3
    = (x - y)(x
    2
    + xy +y
    2
    )

    Binom formülü biraz karmaşık gibi görünse de uygulaması oldukça kolaydır. For-
    mülden de açıkça görüldüğü gibi, bu açılımda;
    i) terim sayısı n + 1 dir,
    ii) ilk terim x
    n
    dir ve x in kuvvetleri birer birer azalırken y nin kuvvetleri birer
    birer artar ve son terim y
    n
    olur,
    iii) her terimde x ile y nin kuvvetleri toplamı n dir,
    iv) baştan k + 1 -inci terim, A katsayı olmak üzere Ax
    n-k
    y
    k
    dır ve burada A kat-
    sayısının payın den başlayan birer birer azalan k tane tamsayının çarpımı, pay-
    dası ise k! dir.
    Örnek:
    = x
    10
    + 10 x
    9
    y + 45 x
    8
    y
    2
    + 120 x
    7
    y
    3
    + 210 x
    6
    y
    4
    + 252 x
    5
    y
    5
    + 210 x
    4
    y
    6
    + 120 x
    3
    y
    7
    + 45 x
    2
    y
    6
    +10 x y
    9
    + y
    10
    .
    Örnek :
    (2y)
    2
    = 2
    2
    y
    2
    = 4y
    2
    , (2y)
    3
    = 2
    3
    y
    3
    = 8y
    3
    , (2y)
    4
    =2
    4
    y
    4
    = 16y
    4
    olduğundan
    (x + 2y)
    4
    = x
    4
    + 8x
    3
    y + 24x
    2
    y
    2
    + 32xy
    3
    + 16y
    4
    dir. Bu açılımda ikinci terimin 2y olduğuna ve 2y nin kuvvetlerinin alındığına dik-
    kat ediniz.

    x + y
    n
    = x
    n
    +
    n
    1!
    x
    n-1
    y +
    n n - 1
    2!
    x
    n-2
    y
    2
    +
    n n - 1 n - 2
    3!
    x
    n-3
    y
    3
    + ...
    +
    n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1
    k!
    x
    n-k
    y
    k
    + ... + y
    n
    x + y
    10
    = x
    10
    +
    10
    1
    x
    9
    y +
    10.9
    1.2
    x
    8
    y
    2
    +
    10.9.8
    1.2.3
    x
    7
    y
    3
    +
    10.9.8.7
    1.2.3.4
    x
    6
    y
    4
    +
    10.9.8.7.6
    1.2.3.4.5
    x
    5
    y
    5
    +
    10.9.8.7.6.5
    1.2.3.4.5.6
    x
    4
    y
    6
    +
    10.9.8.7.6.5.4
    1.2.3.4.5.6.7
    x
    3
    y
    7
    +
    10.9.8.7.6.5.4.3
    1.2.3.4.5.6.7.8
    x
    2
    y
    8
    +
    10.9.8.7.6.5.4.3.2
    1.2.3.4.5.6.7.8.9
    xy
    9
    + y
    10
    x + 2y
    4
    = x
    4
    +
    4
    1
    x
    3
    2y +
    4.3
    1.2
    x
    2
    2y
    2
    +
    4.3.2
    1.2.3
    x 2y
    3
    +
    4.3.2.1
    1.2.3.4
    2y
    4
    = x
    4
    + 4x
    3
    2y + 6x
    2
    2y
    2
    + 4x 2y
    3
    + 2y
    4
    Page 10
    A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
    Örnek :
    = 32x
    5
    – 80 x
    4
    y + 80x
    3
    y
    2
    - 40x
    2
    y
    3
    + 10xy
    4
    – y
    5
    .
    Burada da birinci terimin 2x, ikinci terimin –y olduğuna ve bunların kuvvetlerinin
    alındığına dikkat ediniz.
    Örnek:
    1002 . 998 = (1000 + 2)(1000 – 2) =1000
    2
    – 2
    2
    = 1000 000 – 4 = 999 996 .
    Örnek :
    47
    2
    = (50 – 3)
    2
    = 50
    2
    - 2.50.3 + 3
    2
    = 2500 - 300 + 9 =2209 ,
    veya
    47
    2
    = (40 + 7)
    2
    = 40
    2
    + 2.40.7 +7
    2
    = 1600 + 560 + 49 = 2209 .
    Örnek:
    Toplamaları 50, çarpımları 481 olan iki gerçel sayının kareleri toplamı kaçtır?
    Bu sayılardan birincisine x, ikincisine y diyelim. Buna göre x + y = 50 , xy = 481 olur.
    Diğer taraftan (x + y)
    2
    = x
    2
    + 2xy + y
    2
    = (x
    2
    + y
    2
    ) + 2xy olduğundan
    50
    2
    = (x
    2
    + y
    2
    ) + 2 . 481 olur. Buradan da x
    2
    + y
    2
    = 50
    2
    - 962 = 2500 - 962 = 1538
    bulunur.
    Binom açılımında baştan k+1 -inci terimin katsayısının
    olduğunu belirtmiştik. Bu sayı kısaca
    şeklinde de gösterilir. Buna göre
    dir. Özel olarak
    alınır. Buna göre örneğin
    dir.

    2x - y
    5
    = 2x + -y
    5
    = 2x
    5
    +
    5
    1!
    2x
    4
    -y +
    5.4
    2!
    2x
    3
    -y
    2
    +
    5.4.3
    3!
    2x
    2
    -y
    3
    +
    5.4.3.2
    4!
    2x -y
    4
    + -y
    5
    n n - 1 n - 2 ..... n - k + 1
    1.2.3.4.....k
    n
    k
    n
    k
    =
    n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
    1.2.3.4.....k
    =
    n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
    k!
    n
    0
    = 1
    4
    0
    = 1,
    4
    1
    =
    4
    1
    = 4,
    4
    2
    =
    4.3
    1.2
    = 6,
    4
    3
    =
    4.3.2
    1.2.3
    = 4,
    4
    4
    =
    4.3.2.1
    1.2.3.4
    = 1

    yazılabilir. Bu ifadenin sağ tarafında payın 1.2.3.4..... n = n! , paydanın ise
    (1.2.3...k)[1.2.3...(n-k)] = k! . (n-k)! olduğu görülebilir. Bu kısaltmalardan sonra,
    şu şekilde yazılabilir:
    Bu gösterimden sonra Binom formülünü şöyle de ifade edebiliriz.
    Örnek:
    = x
    7
    + 7x
    6
    y + 21x
    5
    y
    2
    + 35x
    4
    y
    3
    + 35x
    3
    y
    4
    + 21x
    2
    y
    5
    + 7xy
    6
    + y
    7
    .
    Örnek:
    (x + y)
    11
    in Binom açılımında x
    4
    y
    7
    teriminin katsayısı kaçtır?
    Çözüm:
    Binom açılımında x
    n-k
    y
    k
    teriminin katsayısı
    dır. Burada k nın y nin kuvveti
    olduğuna dikkat ediniz. Buna göre, x
    4
    y
    7
    nin katsayısı
    dır.
    Şimdi (x + y) nin pozitif tam kuvvetlerinin açılımlarıile bu açılımlardaki katsayılara
    birlikte bir göz atalım.

    n n - 1 ... n - k + 1
    1.2.3.....k
    =
    n n - 1 n - 2 ... n - k - 1
    1.2.3.4.....k
    .
    n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
    n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
    n
    k
    n
    k
    =
    n !
    k ! n - k !
    , n ∈ IN , k ∈ IN
    x + y
    7
    =
    7
    0
    x
    7
    +
    7
    1
    x
    6
    y +
    7
    2
    x
    5
    y
    2
    +
    7
    3
    x
    4
    y
    3
    +
    7
    4
    x
    3
    y
    4
    +
    7
    5
    x
    2
    y
    5
    +
    7
    6
    xy
    6
    +
    7
    7
    y
    7
    = x
    7
    +
    7!
    1!.6!
    x
    6
    y +
    7!
    2!.5!
    x
    5
    y
    2
    +
    7!
    3!.4!
    x
    4
    y
    3
    +
    7!
    4!.3!
    x
    3
    y
    4
    +
    7!
    5!.2!
    x
    2
    y
    5
    +
    7!
    6!.1!
    xy
    6
    +
    7!
    7!.0!
    y
    7
    n
    k
    11
    7
    =
    11!
    7!.4!
    = 330
    x + y
    n
    =
    n
    0
    x
    n
    +
    n
    1
    x
    n-1
    y +
    n
    2
    x
    n-2
    y
    2
    + .. +
    n
    k
    x
    n-k
    y
    k
    +.. +
    n
    n
    y
    n
    , n ∈ IN , k ∈ IN

    (x + y) = x + y
    1 1
    (x + y)
    2
    = x
    2
    + 2xy + y
    2
    1 2 1
    (x + y)
    3
    = x
    3
    + 3x
    2
    y + 3xy
    2
    + y
    3
    1 3 3 1
    (x + y)
    4
    = x
    4
    + 4x
    3
    y + 6x
    2
    y
    2
    + 4xy
    3
    + y
    4
    1 4 6 4 1
    (x + y)
    5
    = x
    5
    + 5x
    4
    y + 10x
    3
    y
    2
    + 10x
    2
    y
    3
    + 5xy
    4
    + y
    5
    1 5 10 10 5
    1
    (x + y)
    6
    = x
    6
    + 6x
    5
    y + 15x
    4
    y
    2
    + 20x
    3
    y
    3
    + 15x
    2
    y
    4
    + 6xy
    5
    + y
    6
    1 6 15 20 15 6 1
    . . . . .
    . . . . .
    Yukarıda katsayıların oluşturduğu üçgen biçimindeki tablodan açılımla ilgili şu
    özellikleri görüyoruz. Bu açılımlarda n. satırda ilk katsayı 1, ikinci katsayı n, diğer
    katsayılar ise bir üst satırda o katsayının üstündeki sayı ile onun solundaki sayının
    toplamıdır. Örneğin üçüncü satırdaki 3, üstündeki 2 ile 2 nin solundaki 1 in toplamı-
    na, 6-ıncı satırdaki ikinci 15 de üstündeki 5 ile 5 in solundaki 10 nun toplamına eşit-
    tir. Bu kural diğer bütün katsayılar için de geçerlidir. Bunun doğruluğunu tablodan
    kolayca görebilirsiniz. Bu üçgende 7-inci satır, x + y nin 7-inci kuvvetinin açılımın-
    daki katsayılardan oluşacaktır. 6-ıncısatırdaki katsayılar bilindikten sonra 7-inci sa-
    tırdaki katsayılar, yukarıda açıklamaya çalıştığımız kuralla kolayca bulunabilir. Bu
    katsayılar, 1,7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 dir. Binom açılımında katsayıların bulunmasında ol-
    dukça kolaylık sağlayan bu tabloya Pascal Üçgeni denilmektedir. x + y nin n-inci
    kuvvetinin açılımındaki katsayılarıPascal üçgeni ile bulabilmek için (n-1)-inci kuv-
    vetin açılımındaki katsayıların (yani Pascal Üçgeninde n-1 -inci satırın) bilinmesi
    gerekmektedir. Bu n büyüdükçe Pascal üçgeninin uygulanabilirliğini kısıtlayan bir
    özelliktir




  • Konuyu değerlendir: Bu konuyu beğendiniz mi?

    Özdeşlik Nedir? Özdeşlikler ve Binom Açılımı - Özdeşlik Neye Denir?


    Değerlendirme: Toplam 0 oy almıştır, ortalama Değerlendirmesi puandır.

Konu Bilgileri

Users Browsing this Thread

Şu an 1 kullanıcı var. (0 üye ve 1 konuk)

Benzer Konular

  1. Cevaplar: 1
    Son Mesaj: 13.03.11, 17:55
  2. Cevaplar: 0
    Son Mesaj: 09.01.11, 02:38
  3. Cevaplar: 1
    Son Mesaj: 03.10.10, 17:15
  4. Cevaplar: 2
    Son Mesaj: 18.05.09, 12:34
  5. Cevaplar: 0
    Son Mesaj: 09.05.09, 21:50

Yetkileriniz

  • Konu Acma Yetkiniz Var
  • Mesaj Yazma Yetkiniz Var
  • Eklenti Yükleme Yetkiniz Yok
  • Mesajınızı Değiştirme Yetkiniz Yok
  •  

Search Engine Friendly URLs by vBSEO 3.6.0 RC 2 ©2011, Crawlability, Inc.